O expoente de Lyapunov: A teoria de caos aplicada na criptografia

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Na teoria de caos, a estabilidade dos sistemas dinâmicos é avaliada calculando o bem conhecido “Expoente de Lyapunov” (LE). O LE quantifica o comportamento do sistema quando evolvido a partir de duas condições iniciais muito próximas[1]. Por tanto, o LE pode determinar se um sistema dinâmico é caótico ou não. Levando em consideração que a estabilidade dos sistemas dinâmicos é geralmente reconhecida como a principal característica, pois dá uma visão da natureza intrínseca do sistema[1].

Na criptografia, um modo de operação é uma técnica que melhora o efeito de um cifrador de bloco. No ano 2001 o National Institute of Standards and Technology (NIST) estandardizou cinco modos de operação: ECBC, CBC, OFB, CFB e CTR. Lamentavelmente, temos identificado algumas questões que não foram discutidas na literatura pública da criptografia: "como qualitativamente medir entre modos de operação?"

Para superar esta questão desafiadora fomos motivados pelas analogias entre os sistemas dinâmicos e criptográficos, por um lado, e a carência de uma metodologia para discriminar entre os diferentes modos de operação, por outro lado. Nós propomos uma metodologia baseada no ponto de vista do LE para comparar entre os cinco modos de operação antes mencionados. Finalmente, gostaríamos de saber se os cinco modos de operação divergem, e se eles fizerem determinar qual é o melhor.

Embora o processo de criptografia de cifrar e decifrar informações não constitui um sistema dinâmico e tal, tem sido relatado em vários trabalhos que são possíveis traçar analogias paralelas entre os sistemas de criptografia e sistemas dinâmicos [2], [3]. Assim, ao estabelecer tais lineamentos, temos um meio para explorar as ferramentas similares, como os que foram concebidos no contexto de sistemas dinâmicos, a fim de caracterizar os sistemas criptográficos, isto é, os modos de operação.

Descobrimos que a lista de classificação dos modos de operação do NIST por ordem de qualidade é: CTR, CBC, CFB, OFB e do ECB (em ordem decrescente). Os resultados mostraram o nosso método como uma ferramenta eficaz para classificar qualitativamente os modos de operação. Demonstramos neste artigo que o LE pode ser aplicado para resolver o último problema. Nós mostramos como estas medidas podem ser exploradas para identificar o modo de operação que foi usado durante o processo de cifrado.

A aplicação do expoente de Lyapunov para os modos de operação, efetivamente, podem comparar eles de uma maneira qualitativa. Estes resultados mostraram um avanço importante para a criptografia, porque nunca foi apresentada uma pesquisa de comparação qualitativa na literatura pública. Além disso, esta classificação permitiria aos usuários da criptografia para escolher entre os modos de operação. Mais em particular, poder-se-ia detectar possíveis vulnerabilidades de cifras, já que a qualidade depende de valorações e classificações numéricas. Finalmente nossos resultados mostram ao LE como uma ferramenta potencial na criptoanálise.

[1]       J.-P. Eckmann, “Ergodic theory of chaos and strange attractors.pdf,” Reviews of Modern Physics, vol. 57, no. 3, part 1, pp. 617-656, 1985.

[2]       J. M. Amigó, L. Kocarev, and J. Szczepanski, “Discrete Lyapunov Exponent and Resistance to Differential Cryptanalysis,” IEEE Transactions on Circuits and Systems II: Express Briefs, vol. 54, no. 10, pp. 882-886, Oct. 2007.

[3]       G. Jakimoski and K. P. Subbalakshmi, “Discrete Lyapunov Exponent and Differential Cryptanalysis,” IEEE Transactions on Circuits and Systems II: Express Briefs, vol. 54, no. 6, pp. 499-501, Jun. 2007.