Wärmeübertragung

Zusammenfassung

Wärmeleitung spielt in vielen Bereichen des täglichen Lebens eine entscheidende Rolle, so z. B. beim Vermeiden von Wärmeverlusten in Rohrleitungen oder beheizten Häusern. Andere Formen des Wärmetransports, wie die Konvektion und die Wärmestrahlung, sind wichtig bei der Planung von Heizungsanlagen. Auch auf kosmischen Skalen bei der Evolution von Sternen spielen diese Vorgänge eine große Rolle.

Die Sonne ist unsere Licht- und Wärmequelle. Einfache Berechnungen zeigen, dass es bereits 8 min und 20 s nach dem Verlöschen der Sonne auf der Erde dunkel würde. Wie schnell es abkühlen würde, ist jedoch wesentlich komplizierter zu berechnen, da die verschiedenen Arten des Wärmetransports unterschiedlich schnell ablaufen. (© NASA.)

? Welche Transportmechanismen bewirken, dass uns die Wärme erreicht? Außerdem ist es möglich, aus der Wellenlänge des bei uns eintreffenden Lichts die Oberflächentemperatur der Sonne zu berechnen. (Siehe Beispiel 17.3)

Appendices

Im Kontext: Die städtische Wärmeinsel

Die klimatischen Verhältnisse in Städten unterscheiden sich deutlich von denjenigen in ihrer ländlichen Umgebung. Das markanteste und bekannteste Phänomen urbaner Klimamodifikation ist die Ausbildung einer sogenannten städtischen Wärmeinsel (Urban Heat Island, UHI), die durch eine im Mittel zu beobachtende Lufttemperaturdifferenz zwischen Stadt und Umland charakterisiert ist und bis zu etwa 6 K betragen kann.

In Abhängigkeit von Stadtgröße, spezifischer Stadtstruktur (z. B. Dichte und Höhe der Bebauung oder das Verhältnis natürlicher und künstlicher Oberflächen) sowie klimazonaler und topografischer Lage ergeben sich allerdings ausgeprägte Unterschiede zwischen verschiedenen Städten. Tages- und jahreszeitliche sowie kurzfristige witterungsbedingte und langfristige klimawandelbedingte Veränderungen relevanter Einflussgrößen der Lufttemperatur (z. B. die Dauer und Intensität der solaren Einstrahlung) bewirken zudem Variationen der stadtspezifischen UHI.

Erstmals beschrieben wurde das Phänomen der UHI 1820 für London von Luke Howard, der bereits erkannt hatte, dass die UHI in erster Linie ein nächtliches Phänomen ist, während tagsüber häufig sogar kühlere Verhältnisse in der Stadt beobachtet werden (Urban Cooling Island, UCI).

Die wesentliche Ursache für die Ausbildung der UHI bzw. der UCI ist der durch die städtische Bebauung modifizierte Strahlungs- und Energiehaushalt urbaner Gebiete.

Die Strahlungsbilanz $Q^{\ast}$ einer Oberfläche beinhaltet die folgenden Terme (jeweils in W$/$m${}^{2}$): die eingehende Globalstrahlung $K\downarrow$ (kurzwellige direkte und diffuse Strahlung) sowie die langwellige atmosphärische Gegenstrahlung $L\downarrow$, abgestrahlt die kurzwellige Reflexion $K\uparrow$ und die langwellige Ausstrahlung $L\uparrow$; die beiden letztgenannten Teilglieder sind abhängig von spezifischen Materialeigenschaften der Oberfläche (der Albedo, die das oberflächenspezifische Rückstrahlvermögen beschreibt, und der Emissivität) und – im Falle von $L\uparrow$ – von deren Temperatur:

$$Q^{*}=\left({K\!\downarrow}+{L\!\downarrow}\right)-\left({K\!\uparrow}+{L\!\uparrow}\right)$$

Sowohl in der Stadt als auch im Umland ist $Q^{\ast}$ tagsüber positiv, d. h., es wird mehr Strahlung absorbiert als abgestrahlt. Aufgrund ihrer physikalischen Eigenschaften (insbesondere Wärmekapazität, Wärmeleitfähigkeit) erwärmen sich städtische Oberflächen stärker als natürliche, was mit einer Erhöhung von $L\uparrow$ und damit einer – gegenüber dem Umland – insgesamt etwas reduzierten städtischen $Q^{\ast}$ einhergeht. Nachts, bei fehlender kurzwelliger Einstrahlung, wird $Q^{\ast}$ sowohl in der Stadt als auch im Umland negativ (es überwiegt die terrestrische Ausstrahlung), mit niedrigeren Werten in der Stadt, bedingt durch höhere Werte der langwelligen Ausstrahlung $L\uparrow$.

Die Ausbildung oberflächenspezifischer Lufttemperaturen hängt aber nicht von $Q^{\ast}$, sondern von der Energiebilanz der Oberfläche ab, in die $Q^{\ast}$ als ein Term einfließt. Ergänzend zu $Q^{\ast}$ bezeichnen $Q_{H}$ und $Q_{L}$ die Flüsse fühlbarer (sensibler) bzw. latenter Wärme. Während $Q_{H}$ direkt mit Änderungen der Lufttemperatur einhergeht, führt der Verdunstungswärmestrom $Q_{L}$ nicht zu unmittelbaren Lufttemperaturveränderungen. $Q_{S}$ ist der Bodenwärmefluss, der Wärmeenergie in den Boden bzw. in städtische Baumaterialien abführt (Speicherterm). Der anthropogene Wärmefluss ($Q_{a}$), der etwa Abwärme aus Industrieprozessen beinhaltet, und der aus den Energieumsätzen lebender Organismen resultierende metabolische Wärmefluss ($Q_{m}$) werden im Weiteren – obwohl $Q_{a}$ durchaus einen relevanten Beitrag zur städtischen Energiebilanz leisten kann – nicht berücksichtigt:

$$Q^{\ast}+Q_{H}+Q_{L}+Q_{S}+Q_{a}+Q_{m}=0$$

Tagsüber stellt die Strahlungsbilanz $Q^{\ast}$ Energie für die verschiedenen Wärmeflüsse zur Verfügung. Daraus resultieren Erwärmung der Luft sowie Verdunstung und Erwärmung des Bodens (bzw. der städtischen Baumaterialien). Nachts – bei überwiegender Ausstrahlung und dementsprechend negativer $Q^{\ast}$ – erfolgt der Ausgleich der Energiebilanz entsprechend durch Abkühlung der Luft, Kondensation von Wasserdampf und Auskühlung des Bodens.

Entscheidend für oberflächenspezifische Lufttemperaturen sind nun Betrag und Richtung des sensiblen Wärmestroms $Q_{H}$, in Abhängigkeit von $Q_{L}$ und $Q_{S}$. Bei künstlichen Oberflächen ist der Verdunstungswärmestrom $Q_{L}$ aufgrund geringerer Wasserverfügbarkeit generell reduziert, was zu höheren Werten des fühlbaren Wärmestroms $Q_{H}$ und damit zu höheren Lufttemperaturen führt. Der Speicherterm $Q_{S}$ erreicht – infolge der spezifischen Materialeigenschaften – sehr viel höhere Werte als bei natürlichen Oberflächen. Tagsüber erfolgt die Wärmeleitung in die städtischen Baumaterialien hinein, wodurch $Q_{H}$ und damit die Lufttemperaturerhöhung deutlich reduziert werden und sich dementsprechend nur eine schwach ausgeprägte UHI oder sogar eine UCI ausbildet. Nachts wird die tagsüber gespeicherte Wärmeenergie wieder aus den Baumaterialien an die Oberfläche abgeführt und damit – im Gegensatz zu natürlichen Oberflächen – die Aufrechterhaltung des sensiblen Wärmestroms $Q_{H}$ in Richtung Atmosphäre trotz negativer $Q^{\ast}$ gewährleistet und eine Erhöhung der städtischen Lufttemperaturen und die Ausbildung einer nächtlichen UHI ermöglicht.

Ihre deutlichste Ausprägung erfährt die UHI bei wolkenfreien und windschwachen Wetterbedingungen. In Abhängigkeit von der räumlich variierenden Stadtstruktur erscheint die UHI allerdings in der Regel nicht als geschlossener Bereich einheitlicher Überwärmung, sondern stellt sich vielmehr als differenziertes Verteilungsmuster thermisch unterschiedlich charakterisierter Stadtbereiche dar, wie es in der Abbildung für Bedingungen eines windstillen und wolkenlosen Sommerabends in der Stadt Augsburg dargestellt ist.

Die Kenntnis solcher raumzeitlicher Verteilungsmuster der Lufttemperatur im urbanen Raum ist die Voraussetzung für die Identifikation städtischer Strukturen und Bereiche, die erhöhte Lufttemperaturen aufweisen, die ihrerseits potenziell zu Belastungen des menschlichen Organismus und unter bestimmten Rahmenbedingungen – etwa während sommerlicher Hitzewellen – zu nachhaltigen gesundheitlichen Beeinträchtigungen der betroffenen Stadtbevölkerung führen können (wie etwa während des „Hitzesommers“ 2003 in verschiedenen europäischen Großstädten). Gesteigerte Bedeutung kommt diesem Aspekt angesichts des zu erwartenden zukünftigen Klimawandels mit voraussichtlich weiter fortschreitenden Temperaturzunahmen zu. Um nachteilige Gesundheitseffekte klimawandelbedingt erhöhter Lufttemperaturen in bestimmten urbanen Bereichen, z. B. in dicht bebauten und stark versiegelten Strukturen, abzumildern, können verschiedene städtebauliche Maßnahmen in Erwägung gezogen werden. Zu nennen sind hier Klimaanpassungsstrategien wie beispielsweise die Erhöhung des Anteils von innerstädtischen Grün- und Wasserflächen, um den Verdunstungswärmestrom $Q_{L}$ zu intensivieren und damit den sensiblen Wärmestrom $Q_{H}$ und die damit verbundene Erhöhung der innerstädtischen Lufttemperaturen zu begrenzen. Des Weiteren kann durch den Einsatz geeigneter Baumaterialien die Albedo städtischer Oberflächen dergestalt modifiziert werden, dass ein höherer Anteil der einfallenden kurzwelligen Globalstrahlung $K\downarrow$ reflektiert wird und dementsprechend nicht zur Erwärmung der städtischen Oberflächen und zur Erhöhung der Lufttemperatur zur Verfügung steht.

Statistisch modellierte Abweichungen städtischer Lufttemperaturen in Augsburg von einer ruralen Vergleichsstation. (Straub, A. 2017. Statistische Modellierung räumlicher Verteilungsmuster der Lufttemperatur in der Stadtregion Augsburg. Masterarbeit, Institut für Geographie, Universität Augsburg.)

PD Dr. Christoph Beck, geboren 1968 in Lindenberg/Allgäu, studierte an der Universität Würzburg Geographie und promovierte 2000 mit einer Arbeit zur langzeitlichen Klimavariabilität in der Region Nordatlantik–Europa. Nach fünfjähriger Tätigkeit am Weltzentrum für Niederschlagsklimatologie ist er seit 2006 Akademischer Rat und seit 2015 Privatdozent am Institut für Geographie der Universität Augsburg, wo er unter anderem zum Thema „Stadtklima im Klimawandel“ forscht.

Zusammenfassung

	Thema	Wichtige Gleichungen und Anmerkungen
1.	Wärmeübertragung	Wärme kann durch drei Mechanismen übertragen werden: Wärmeleitung, Konvektion und Strahlung.
	Newton’sches Abkühlungsgesetz	Bei allen Mechanismen der Wärmeübertragung ist bei geringem Temperaturunterschied die Abkühlungsgeschwindigkeit eines Gegenstands näherungsweise proportional zur Temperaturdifferenz zwischen ihm und seiner Umgebung.
2.	Wärmeleitung	Bei der Wärmeleitung vollzieht sich der Energietransport durch Wechselwirkungen zwischen Atomen oder Molekülen, die dabei aber selbst nicht transportiert werden.
	Wärmestrom	Der Wärmestrom, also die pro Zeiteinheit durch Wärmeleitung übertragene Wärmemenge, ist gegeben durch $I=\frac{\Updelta Q}{\Updelta t}=k\,A\,\frac{\Updelta T}{\Updelta x}\,$.   (17.1) Darin ist $I$ der Wärmestrom, $k$ die Wärmeleitfähigkeit und $\Updelta T/\Updelta x$ der Temperaturgradient.
	Wärmewiderstand	$\Updelta T=R\,I$   (17.3) Darin ist $R$ der Wärmewiderstand: $R=\frac{|\Updelta x|}{k\,A}\,$   (17.4)
	Wärmewiderstand bei Reihenschaltung	Sind Wärmewiderstände hintereinander geschaltet, ist der Gesamtwiderstand der Anordnung: $R=R_{1}+R_{2}+\cdots\,$   (17.6)
	Wärmewiderstand bei Parallelschaltung	Sind Wärmewiderstände parallel geschaltet, ist der Gesamtwiderstand der Anordnung: $\frac{1}{R}=\frac{1}{R_{1}}+\frac{1}{R_{2}}+\cdots\,$   (17.8)
	Wärmewiderstandsfaktor	Dies ist der Wärmewiderstand, den ein 1 m${}^{2}$ großes Stück des betreffenden Werkstoffs bei einer gegebenen Schichtdicke $\Updelta x$ hat: $r=\frac{|\Updelta x|}{k}\,$   (17.9) $k$ ist die Wärmeleitfähigkeit. Der Wärmestrom durch die Fläche $A$ ist dann gegeben durch $I=\frac{A}{r}\,\Updelta T\,$.   (17.10)
3.	Wärmestrahlung	Bei der Strahlung wird Energie durch elektromagnetische Wellen, die sich mit Lichtgeschwindigkeit ausbreiten, auch im leeren Raum transportiert.
	Strahlungsleistung	Die Strahlungsleistung eines Körpers mit der Temperatur $T$ ist $P_{\mathrm{e}}=e\,\sigma A\,T^{4}\,$.   (17.11) Darin ist $\sigma=5{,}6703\cdot 10^{-8}\,\text{W}\cdot\text{m}^{-2}\cdot\text{K}^{-4}$ die Stefan-Boltzmann-Konstante und $e$ der Emissionsgrad, der zwischen 0 und 1 liegt und von der Oberflächenbeschaffenheit des betreffenden Körpers abhängt. Stoffe, die Wärmestrahlung gut absorbieren, emittieren sie auch gut.
	Abgestrahlte Wärmeleistung	Die von einem Körper mit der Temperatur $T$ an seine Umgebung mit der Temperatur $T_{0}$ abgestrahlte Wärmeleistung ist $\Updelta P=e\,\sigma A\,T^{4}-a\,\sigma A\,T_{0}^{4}\,$.   (17.14) Darin ist $a$ der Absorptionsgrad des Körpers. Seine Werte liegen zwischen 0 und 1 und sind im Allgemeinen von $e$ verschieden.
	Schwarzer Körper	Ein schwarzer Körper hat den Emissionsgrad $e=1$ und den Absorptionsgrad $a=1$. Er absorbiert sämtliche auf ihn einfallende Strahlung und ist auch ein idealer Strahler.
	Lambert’scher Strahler	Beim Lambert’schen Strahler ist die emittierte Strahlungsleistung richtungsunabhängig.
	Wien’sches Verschiebungsgesetz	Die von einem Körper emittierte Strahlungsleistung hat ihr Maximum bei der Wellenlänge $\lambda_{\mathrm{max}}$, die umgekehrt proportional zur absoluten Temperatur $T$ des Körpers ist: $\lambda_{\mathrm{max}}=\frac{2{,}898\,\text{mm}\cdot\text{K}}{T}\,$   (17.15)

Antwort auf die Kurzfrage

• 17.1 Holz leitet die Wärme schlecht, ein Metall dagegen gut. Beim Berühren mit der Hand, die wärmer ist als die Tischplatte, leitet das Metall die Wärme viel schneller von ihr ab als das Holz. Deswegen fühlt sich die Metallplatte kalt an. Dagegen wird das Holz aufgrund seiner geringen Wärmeleitfähigkeit in unmittelbarer Nähe der Hand leicht erwärmt, sodass sich nur ein schwaches Kältegefühl einstellt.

Lösungen der Zusatzaufgaben

• 17.1 $0{,}0563\,\text{K}\cdot\text{W}^{-1}=56{,}3\,\text{mK}\cdot\text{W}^{-1}$

• 17.2 $\begin{aligned}\displaystyle\displaystyle\Updelta x&\displaystyle=\displaystyle(1\,\text{cm})\cdot\frac{429\,\text{W}\cdot\text{m}^{-1}\cdot\text{K}^{-1}}{0{,}026\,\text{W}\cdot\text{m}^{-1}\cdot\text{K}^{-1}}\\ \displaystyle&\displaystyle\displaystyle=16\,500\,\text{cm}=165\,\text{m}\end{aligned}$

Aufgaben

1.1 Verständnisaufgaben

17.1

•• Warum kann man Heizkosten sparen, wenn man im Winter die Raumtemperatur nachts absenkt? Erklären Sie dazu, warum folgende Annahme falsch ist, die viele Menschen vertreten: „Das Wiederaufheizen am Morgen macht die Ersparnis zunichte, die durch das Absenken der Temperatur über Nacht erreicht wurde.“

17.2

•• Zwei massive Zylinder aus dem Material A bzw. B sind gleich lang, und für ihre Durchmesser gilt $d_{\mathrm{A}}=2\,d_{\mathrm{B}}$. Wenn zwischen ihren Enden die gleiche Temperaturdifferenz aufrechterhalten wird, dann übertragen beide Zylinder pro Zeiteinheit dieselbe Wärmemenge. Wie verhalten sich die Wärmeleitfähigkeiten der beiden Materialien zueinander? a)  $k_{\mathrm{A}}=k_{\mathrm{B}}/4$, b) $k_{\mathrm{A}}=k_{\mathrm{B}}/2$, c) $k_{\mathrm{A}}=k_{\mathrm{B}}$, d) $k_{\mathrm{A}}=2\,k_{\mathrm{B}}$, e) $k_{\mathrm{A}}=4\,k_{\mathrm{B}}$.

1.2 Schätzungs- und Näherungsaufgaben

17.3

•• Flüssiges Helium wird gewöhnlich in Behältern mit einer 7,00 cm starken „Superisolation“ aufbewahrt, die aus zahlreichen sehr dünnen Schichten aus aluminisiertem Mylar besteht. Angenommen, aus einem solchen kugelförmigen Behälter mit einem Volumen von 200 l verdampfen bei einer Raumtemperatur von $20\,^{\circ}$C pro Tag 0,700 l Helium. Die Dichte des flüssigen Heliums beträgt 0,125 kg$/$l und seine spezifische Verdampfungswärme 21,0 kJ$/$kg. Schätzen Sie die Wärmeleitfähigkeit der Superisolation ab.

17.4

•• Schätzen Sie die Wärmeleitfähigkeit der menschlichen Haut ab. Nehmen Sie als Durchschnittswerte an, dass ein Mensch eine Körperoberfläche von 1,8 m${}^{2}$ hat und in Ruhe eine Leistung von rund 130 W abgibt. Die Temperatur beträgt im Körperinneren 37 ${}^{\circ}$C und an der Hautoberfläche 33 ${}^{\circ}$C. Setzen Sie als mittlere Dicke der Haut 1 mm an.

17.5

•• Schätzen Sie den mittleren Emissionsgrad der Erde ab, wobei Sie folgende Daten heranziehen: Die Solarkonstante (die Intensität der Sonnenstrahlung, die auf die Erde trifft) beträgt 1,37 kW$/$m${}^{2}$; es werden 70 % dieser Strahlung von der Erde absorbiert; die mittlere Temperatur der Erdoberfläche liegt bei 288 K. Nehmen Sie als Fläche, auf die die Strahlung auftrifft, $\uppi\,r_{\mathrm{E}}^{2}$ an, wobei $r_{\mathrm{E}}$ der Erdradius ist. Als Fläche, von der angenommen wird, dass sie wie ein schwarzer Körper strahlt, ist die Kugeloberfläche $4\,\uppi\,r_{\mathrm{E}}^{2}$ anzusetzen.

1.3 Wärmeleitung

17.6

•• Zwei Metallwürfel mit der Kantenlänge 3,00 cm, einer aus Kupfer und der andere aus Aluminium, sind angeordnet, wie in Abb. 17.7 gezeigt. Berechnen Sie a) den Wärmewiderstand jedes Würfels, b) den Wärmewiderstand der gezeigten Kombination aus beiden Würfeln, c) den Wärmestrom $I$ durch diese Kombination, d) die Temperatur an der Grenzfläche zwischen den Würfeln.

Abb. 17.7

Zu Aufgabe 17.6

17.7

•• Die monatlichen Kosten für die Klimatisierung eines Hauses sind etwa proportional zu der Geschwindigkeit, mit der das Haus Wärme aus der Umgebung aufnimmt, dividiert durch die Leistungszahl $\varepsilon_{\mathrm{KM}}$ der Klimaanlage. Bezeichnen Sie die Temperaturdifferenz zwischen dem Inneren des Hauses und der Außenluft mit $\Updelta T$. Nehmen Sie an, dass der Wärmestrom in das Haus proportional zu $\Updelta T$ ist und dass die Klimaanlage eine ideal arbeitende Kältemaschine ist. Zeigen Sie, dass die monatlichen Kosten für die Klimatisierung des Hauses dann proportional zu $(\Updelta T)^{2}/T_{\mathrm{H}}$ sind, wobei $T_{\mathrm{H}}$ die Temperatur im Inneren des klimatisierten Hauses ist.

17.8

• Jean-Baptiste Joseph Fourier und später Lord Kelvin berechneten das Alter der Erde, indem sie von einer zu Beginn geschmolzenen Eisenkugel ausgingen, die dann nach außen Wärme abstrahlte und deren inneres Temperaturprofil sich dabei nach den Gesetzen der Wärmeleitung einstellte. Aus dem Temperaturgradienten der Erde konnte so auf die vergangene Zeit geschlossen werden. Lord Kelvin erhielt Werte von einigen zehn bis hundert Millionen Jahren, die damit Größenordnungen unter dem wahren Wert lagen. Er beharrte sehr auf seinen Ergebnissen und trieb damit Zeitgenossen aus der Geologie und Evolutionsbiologie wie C. Darwin zur Verzweiflung. Welche wichtigen Effekte wurden von Kelvin nicht berücksichtigt?

1.4 Wärmestrahlung

17.9

• Nehmen Sie den menschlichen Körper als schwarzen Strahler der Temperatur 33 ${}^{\circ}$C an (das ist etwa die Temperatur der Hautoberfläche) und berechnen Sie hierfür $\lambda_{\mathrm{max}}$, die Wellenlänge der maximalen Strahlungsleistung.

17.10

• Das Universum ist von einer sogenannten Hintergrundstrahlung erfüllt, von der man annimmt, dass sie letztlich vom Urknall herrührt. Nehmen Sie an, das gesamte Universum sei ein schwarzer Körper mit einer Temperatur von 2,3 K. Wie groß ist dann die Wellenlänge $\lambda_{\mathrm{max}}$ der maximalen Strahlungsleistung?

17.11

•• Eine geschwärzte, massive Kupferkugel mit dem Radius 4,0 cm hängt in einem evakuierten Gefäß, dessen Wandungen eine Temperatur von 20 ${}^{\circ}$C haben. Die Kugel hat eine Anfangstemperatur von 0,0 ${}^{\circ}$C. Berechnen Sie – unter der Annahme, dass Wärme nur durch Strahlung übertragen wird – die Geschwindigkeit ihrer Temperaturänderung. (Nehmen Sie dabei an, dass die Kugel wie ein schwarzer Körper strahlt.)

17.12

••• Die Solarkonstante (Strahlungsenergie der Sonne pro Fläche) bei der Erde beträgt rund $1{,}37\,\text{kW}/\text{m}^{2}$. a) Zeigen Sie geometrisch, dass die im Profil auf die Erde treffende Strahlungsenergie auf die gesamte Erdoberfläche gemittelt genau ein Viertel der Solarkonstante beträgt. b) Wir nehmen die Erde als Schwarzkörper mit homogener Temperatur an. Welche Temperatur muss die Oberfläche der Erde dann annehmen, damit ihre Wärmestrahlung genau die im Mittel eingestrahlte Strahlungsenergie der Sonne ausgleicht? c) Als einfaches Spielzeugmodell für den Treibhauseffekt bzw. die Treibhausgase in der Atmosphäre kann man sich eine „Glassphäre“ vorstellen, welche die Erde in kleinem Abstand umgibt. Sie lässt das Sonnenlicht von außen durch, absorbiert aber die von der Erde kommende infrarote Wärmestrahlung komplett. Die Glassphäre heizt sich dann ebenfalls auf, bis ihre thermische Abstrahlung nach innen und außen die von der Erde eingestrahlte Energie genau ausgleicht. Welche Gleichgewichtstemperatur erreicht nun die Glassphäre, welche die Erdoberfläche? Wäre die Erde jetzt noch bewohnbar?

17.13

•• Der berühmte Physiker Stephen Hawking hat gezeigt, dass Schwarze Löcher nicht komplett schwarz sind, sondern sich nach den Gesetzen der Quantenphysik ungefähr wie thermische Schwarzkörperstrahler verhalten sollten. Für ein Schwarzes Loch mit dem Radius $r_{s}$ beträgt die sogenannte Hawking-Temperatur

$$\begin{aligned}\displaystyle T_{H}=\frac{\hbar c}{4\pi r_{s}k_{B}}\,.\end{aligned}$$

Dabei ist $\hbar\approx 1{,}0546\,\text{J\,s}$ das reduzierte Planck’sche Wirkungsquantum und $c$ die Lichtgeschwindigkeit. a) Vergleichen Sie die Wellenlänge des Maximums der resultierenden thermischen Strahlung mit dem Radius des Schwarzen Lochs. b) Welchen Radius müsste ein Schwarzes Loch besitzen, damit es gerade die Leistung eines typischen Großkraftwerks von $P=1\,\text{GW}$ abstrahlt? c) Das Schwarze Loch im Zentrum der Milchstraße hat eine Ausdehnung von ca. $r=13$ Mio. km. Begründen Sie, weshalb seine Hawking-Strahlung voraussichtlich nicht durch Beobachtungen nachgewiesen werden kann.

1.5 Allgemeine Aufgaben

17.14

•• Die Solarkonstante ist die Strahlungsleistung der Sonne, die beim mittleren Abstand zwischen Sonne und Erde pro Flächeneinheit, die auf der Strahlungsrichtung senkrecht steht, auf die Erdoberfläche trifft. Sie beträgt in der oberen Atmosphäre rund 1,37 kW$/$m${}^{2}$. Nehmen Sie die Sonne als schwarzen Strahler an und berechnen Sie ihre effektive Oberflächentemperatur. (Der Sonnenradius beträgt $6{,}96\cdot 10^{8}\,\mathrm{m}$.)

17.15

•• Die Temperatur der Erdkruste nimmt pro 30 m Tiefe durchschnittlich um 1,0 ${}^{\circ}$C zu. Ihre mittlere Wärmeleitfähigkeit beträgt $\mathrm{0{,}74\,J/(m\,s\,K)}$. Welche Wärmemenge pro Sekunde führt die Erdkruste durch Wärmeleitung aus dem Erdkern ab? Wie hoch ist diese Wärmeabgabe im Vergleich zur Strahlungsleistung, die von der Sonne auf die Erde gelangt? (Die Solarkonstante beträgt rund 1,37 kW$/$m${}^{2}$.)

17.16

•• Ein Stab hat einen sich entlang seiner Länge ändernden Durchmesser $d$, wobei gilt: $d=d_{0}\,(1+a\,x)$. Darin ist $a$ eine Konstante und $x$ der Abstand von einem Ende des Stabs. Dieser besteht aus einem Material mit der Wärmeleitfähigkeit $k$. Stellen Sie einen Ausdruck für den Wärmewiderstand des Stabs in Abhängigkeit von der Länge $l$ auf.

17.17

••• Auf einem Teich schwimmt eine 1,00 cm dicke Eisschicht. a) Um wie viele Zentimeter pro Stunde wird die Eisschicht unten dicker, wenn die Lufttemperatur $-10$ ${}^{\circ}$C beträgt? Eis hat die Dichte $\mathrm{0{,}917\,g/cm^{3}}$. b) Wie lange dauert es, bis sich eine 20,0 cm dicke Eisschicht gebildet hat, sodass man darauf Schlittschuh laufen kann?