Abstract
The understanding of extreme events is important for several fields of research. From a
practical point of view, the prediction of extreme events is necessary in order to allow for
adaptation and damage reduction. From a theoretical point of view, extreme fluctuations
of the system under study provide valuable information about the system itself, thus
revealing processes behind these events.
In this thesis we adopt the theoretical point of view. We study extremes of atmospheric
observables (total energy and near-surface temperature) in two numerical models, a
quasi-geostrophic (QG) two-layer atmospheric model and a simplified general circula-
tion model of the atmosphere (PUMA - Portable University Model of the Atmosphere).
Our general aim is to provide a mathematical background for the study of extreme
events in atmospheric flows. To achieve this we use two rigorous mathematical frame-
works: Extreme Value Theory (EVT) and Large Deviation Theory (LDT). In both cases,
we connect properties of extreme or rare events to general properties of the system (or
of the system state) producing these events, by taking perspectives based on dynamical
systems theory and statistical mechanics.
In case the of energy extremes in the QG model, we search for the universality of ex-
treme events, and find a connection between statistical properties of extremes of dif-
ferent energy observables and general dynamical properties of the system. This is in
accordance with theoretical results developed for chaotic dynamical systems. In the
case of extremes of temperature averages in the PUMA model, we aim at analysing per-
sistent temperature extreme events (heat waves or cold spells) based on LDT. Here, we
also find universal characteristics in form of a connection between temporal and spatial
(or spatio-temporal) averages, while the spatial averaging is performed along latitudes.
However, we are able to explore universality in both cases only if the asymptotic limit
demanded by the theories is valid, i.e. on large temporal and/or spatial scales.
On smaller scales, the effect of correlations prevents universal results, producing pre-
asymptotic deviations. Additionally, if the system state is not chaotic enough, asymp-
totic levels cannot be reached, at least on realistic finite scales. Furthermore, we realise
that analysing persistent events based on asymptotic theories is far from being a trivial
task, however, it can be done by averaging in two dimensions: first, on intermediate
scales in space and, second, obtaining a LD limit in time.
Die wissenschaftliche Untersuchung von Extremwerten ist wichtig für zahlreiche For-
schungsgebiete. Aus praktischer Sicht ist die Vorhersage von Extremwerten fur Anpas-sungsmaßnahmen und Schadensreduzierung unerlässlich. Aus theoretischer Sicht liefern extreme Fluktuationen des untersuchten Systems wertvolle Informationen über das
System selbst und offenbaren dadurch die Prozesse hinter diesen Fluktuationen.
In dieser Doktorarbeit wählen wir die theoretische Herangehensweise. Wir analysieren Extremwerte von atmosphärischen Variablen (totale Energie und oberflächennahe Temperatur) in zwei numerischen Modellen, ein quasi-geostrophisches (QG) Zwei-Schichten-Modell und ein vereinfachtes, globales Zirkulationsmodell der Atmosphäre
(PUMA - Portable University Model of the Atmosphere). Unser Hauptziel ist die Er-
stellung eines mathematischen Rahmens für die Untersuchung von Extremwerten in atmosphärischen Strömungen. Um dies zu erreichen verwenden wir zwei rigorose, ma-
thematische Theorien: Extremwertstatistik (EWS) und die Theorie der großen Abwei-
chungen (TGA). In beiden Fällen untersuchen wir - aus der Perspektive der Theorie dynamischer Systeme und der statistischen Mechanik - die Verbindung zwischen den Eigenschaften von extremen und seltenen Ereignissen und allgemeinen Systemeigenschaften (oder Systemzustandseigenschaften), die diese Ergebnisse hervorrufen.
Im Rahmen der Untersuchung der Energieextreme im QG-Modell forschen wir nach der Universalität von Extremwerten, und wir finden eine Verbindung zwischen den statistischen Eigenschaften von Extremwerten und generellen, dynamischen Eigenschaften des Systems. Dies entspricht theoretischen Ergebnissen die für chaotische dynamische Systeme hergeleitet wurden. Im Falle der Extremereignisse von gemittelten Temperaturwerten im PUMA-Modell untersuchen wir andauernde Extremereignisse (wie Hitze-
oder Kältewellen) basierend auf TGA. Auch in diesem Fall entdecken wir universa-
le Eigenschaften in Form einer Verknüpfung zwischen zeitlich und räumlich (oder in
beiden Dimensionen) gemittelten Größen entlang eines Breitengrades. Nichtsdestotrotz können wir in beiden Fällen die Universalität nur dann beobachten, wenn die theoretisch vorgeschriebene, asymptotische Annäherung gilt, d.h. für große Zeit- und/oder Raumskalen.
Allerdings verhindert die Wirkung der Korrelationen universale Ergebnisse auf klei-
neren Skalen und verursacht präasymptotische Abweichungen. Außerdem kann die asymptotische Annäherung nicht erreicht werden, zumindest auf realistischen, endlichen Skalen, wenn das System nicht chaotisch genug ist. Darüber hinaus merken wir, dass die Untersuchung der andauernden Extremereignissen alles andere als einfach ist. Wir zeigen dennoch dass es möglich ist, wenn man in zwei Dimensionen mittelt: erstens im Raum über mittleren Skalen, und zweitens in der Zeit, wobei eine Annäherung für große Abweichungen erreicht werden soll.
