Generalization of certain well-known inequalities for the derivative of polynomials

Abstract

For a polynomial P(z) of degree n which has no zeros in z < 1, Dewan et al. [4] established the inequality

$$\left| {zP'(z) + \frac{{\pi \beta }}{2}P(z)} \right| \leqslant \frac{n}{2}\left\{ {\left( {\left| {\frac{\beta }{2}} \right| + \left| {1 + \frac{\beta }{2}} \right|} \right)\mathop {\max }\limits_{\left| z \right| = 1} \left| {P\left( z \right)} \right| - \left( {\left| {1 + \frac{\beta }{2}} \right| - \left| {\frac{\beta }{2}} \right|} \right)\mathop {\min }\limits_{\left| z \right| = 1} \left| {P\left( z \right)} \right|} \right\},$$

for any β ≤ 1 and z = 1. In this paper we improve the above inequality for the sth derivative of a polynomial which has no zeros in z < k, k ≤ 1. Our results generalize certain well-known polynomial inequalities.

абстрактный

Для многочлена P(z) степени п, не имеющего корней в круге z < 1, Деван и др. [4] установили, что

$$\left| {zP'(z) + \frac{{\pi \beta }}{2}P(z)} \right| \leqslant \frac{n}{2}\left\{ {\left( {\left| {\frac{\beta }{2}} \right| + \left| {1 + \frac{\beta }{2}} \right|} \right)\mathop {\max }\limits_{\left| z \right| = 1} \left| {P\left( z \right)} \right| - \left( {\left| {1 + \frac{\beta }{2}} \right| - \left| {\frac{\beta }{2}} \right|} \right)\mathop {\min }\limits_{\left| z \right| = 1} \left| {P\left( z \right)} \right|} \right\},$$

для любых ß < 1 и z = 1. В ѳтои статье мы уточняем неравенство выше для s-H производнои многочлена, не имеющего нулеи в z < к, к < 1. Наши результаты обобщают некоторые известные неравенства для многочленов.