The solution of Jacobi's virial equation for nonconservative systems and analysis of its dependence on parameters

Abstract

It is shown that the product of the form-factors α and β in expressions for potential energy and the moment of inertia runs to a constant value in the asymptotic time limit of simultaneous collision of all particles for nonconservative systems.

The solution of Jacobi's virial equation for nonconservative systems is obtained. In deriving this result, we used the property of monotony and continuity of the total energy function for the intervals of the ‘smooth’ evolution of the system.

The solution of Jacobi's virial equation for nonconservative and conservative systems near discriminant lines where the moment of inertia is equal to zero is found to possess the same asymptotic behaviour as in the case of an arbitraryn particles system in the asymptotic time limit of simultaneous collision of alln particles.

It follows from analysis of the solution of Jacobi's virial equation for nonconservative systems that the amplitude value of oscillations of the moment of inertia decrease to zero near the bifurcational point during the evolution of celestial bodies. Parameters of the bifurcational point and conditions of the system's birfurcation also are found.

Резюме

Показано, что произведение форм-факторов α и π, входящих в выражения потенцальной энергии и момента инерции для неконсервативных систем в асимптотическом пределе одновременного стлкновения всех частиц стремится к постоянной величине.

Получено решение вириального уравнения Якоби для неконсервативных систем. При этом использовано свойство монотнности и непрерывности изменения функции полной энергии на участках ‘гладкой’ эволюции системы.

Найдено, что решения вириального уравнения Якоби как для консервативных, так и для неконсервативных систем вблизи дискриминантных линий, где момент инерции равен нулю, имеют тождественное асимптотическое поведение, что и поведение произвольной системыn тел при стремлении к моменту их одновременного столкновения.

На основе анализа решения вириального уравнения Якоби для неконсервативных систем показано, что при эволюции небесных тел амплитуда колебания момента инерции затухает, а период его колебания стремится к периоду вращения тела. Найдены условия бифуркации системы и определены параметры точки бифуркации.